مقاله دانشجویی

تحقیق پروزه ومفالات دانشجویی

صفحه اول آرشيو مطالب کتاب های دانشگاهی شماره جدید 09217354724

کتب تمامی رشته ها

جزوات تمامی دروس

لینک های مفید

نوشته شده در تاريخ جمعه 15 دی 1391برچسب:,

توسط aryan

آموزشی انالیز ریاضی توپولوژی ++کنکور++

اگه مطالبی شبیه این میخوای رو لینکهای روبرو کلیک کن!!! : آموزشی انالیز ریاضی توپولوژی ++کنکور++

تست 26 (سال 82)

اگر $A=[-2,-1)\cup \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$ ، کدام یک از گزینه های زیر صحیح است؟

1) نقاط انباشتگی A برابر است با $[-2,-1]$ و نقاط مرزی A برابر است با $\{-2,-1\}\cup \{0\}$

2) نقاط انباشتگی A برابر است با $[-2,-1]\cup \{0\}$ و نقاط مرزی A برابر است با $\{-2,-1\}\cup \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$

3) نقاط انباشتگی A برابر است با $[-2,-1]$ و نقاط مرزی A برابر است با $\{-2,-1\}$

4) نقاط انباشتگی A برابر است با $[-2,-1]\cup \{0\}$ و نقاط مرزی A برابر است با $\{-2,-1\}\cup \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}$

حل تست:

گزینه ی 4.

بنابر تعریف نقاط انباشتگی و نقاط مرزی.

تست 27 (سال 82)

کدام مجموعه کراندار نیست؟

1) $\{\frac{1}{1+x^2}:x\in\mathbb{R}\}$

2) $\{xsin(x):x\in\mathbb{R}\}$

3) $\{\frac{x}{x+1}:x\in[\frac{-1}{2},\infty]\}$

4) $\{e^{-x^2}sin(x):x\in\mathbb{R}\}$

حل تست:

گزینه ی 2.

کافی است به جای x در گزینه ی 2 عبارت $2k\pi+\frac{\pi}{2}$ قرار داده، k را به سمت بی نهایت میل دهید. می توانید ببینید که قدرمطلق عبارات گزینه های دیگر، همگی از 1 کمتر یا مساوی هستند.

تست 28 (سال 82)

کدام یک از احکام زیر، درست است؟

1) هر فضای متری همبند، شمارش ناپذیر یا تک عضوی است.

2) هر فضای متری همبند، دارای زیرمجموعه ای شمارش پذیر و چگال است.

3) هر فضای متری فشرده، شمارش پذیر است.

4) هر فضای متری همبند، کامل است.

حل تست:

گزینه ی 1.

برای اثبات به کتاب اصول آنالیز رودین ص 57 تمرین 19 ت مراجعه فرمایید.

گزینه ی 2 یه این معناست که هر فضای متری همبند، جدایی پذیر است که درست نیست. (فضای دنباله های حقیقی کران دار با نرم سوپریمم). گزینه های 3 و 4 نیز با زیرفضاهای $[0,1]$ و $(0,1)$ رد می شوند.

تست 29 (سال 82)

فرض کنیم $(X,d)$ یک فضای متری باشد، برای $A\subset X$ درون A را با $int(A)$ نشان می دهیم. هرگاه $int(A)=int(B)=\varnothing$ ، کدام گزینه صحیح است؟ (A و B زیرمجموعه های X هستند.)

1) تنها وقتی $int(A\cup B)=\varnothing$ که A بسته و B باز باشد یا بالعکس.

2) تنها وقتی $int(A\cup B)=\varnothing$ که A یا B بسته باشد.

3) هر گاه A در X بسته باشد، آنگاه $int(A\cup B)=\varnothing$ .

4) همواره $int(A\cup B)=\varnothing$ .

حل تست:

گزینه ی 3.

در حالت کلی تر ثابت کنید که اگر A بسته باشد و $int(B)=\varnothing$ ، آنگاه $int(A\cup B)\subseteq int(A)$

تست 30 (سال 82)

فرض کنیم X یک فضای متری، $E\subset X$ و $E'$ مجموعه ی نقاط حدی (انباشتگی) E باشد. کدام گزاره همواره برقرار است؟

1) $E'$ بسته و کران دار است.

2) $E'\subset (E')'$

3) $(E')'=E'$

4) $(E')'\subset E'$

حل تست:

گزینه ی 4.

$E'$ مجموعه ای بسته است.

تست 31 (سال 82)

فرض کنیم $A\subset \mathbb{R}$ زیر مجموعه ای ناتهی و سره باشد به طوری که $\mathbb{R}-A$ همبند است، در این صورت:

1) A فشرده است.

2) A بی کران است.

3) A درون تهی است.

4) A حداکثر شماراست.

حل تست:

گزینه ی 2.

$\mathbb{R}-A$ باید تک نقطه ای یا یک بازه باشد (بازه ی متناهی یا نامتناهی)، بنابر این A به صورت $\mathbb{R}-B$ است که B یک مجموعه ی تک عنصری یا یک بازه است، پس A در هر صورت بی کران است.

بقیه ی گزینه ها با مثال نقض $A=(0,+\infty)$ رد می شود.

تست 32 (سال 82)

کدام گزینه صحیح است؟

1) هر مجموعه ی نامتناهی از اعداد حقیقی، باز است.

2) $\mathbb{R}-\mathbb{N}$ مجموعه ای باز است.

3) مجموعه ی ناتهی بازی مانند A از اعداد حقیقی وجود دارد که نمی توان آن را به صورت اجتماعی از فواصل باز نوشت.

4) برای هر دو زیر مجموعه ی A و B از $\mathbb{R}$ داریم: $A^\circ\cup B^\circ=(A\cup B)^\circ$

حل تست:

گزینه ی 2.

به وضوح هر نقطه ی مجموعه ی $\mathbb{R}-\mathbb{N}$ نقطه ای درونی (داخلی) است و در نتیجه این مجموعه باز است.

برای رد گزینه ی 1 مجموعه ی اعداد صحیح را در نظر بگیرید. گزینه ی 3 نیز صحیح نیست، زیرا بنابر قضیه ی معروفی در آنالیز، هر زیر مجموعه ی باز $\mathbb{R}$ اجتماع شمارایی از همسایگی ها است (تمرین 22 و 23 فصل 2 اصول آنالیز ریاضی رودین). برای رد گزینه ی 4، A را مجموعه ی اعداد گویا و B را مجموعه ی اعداد اصم (گنگ) در نظر بگیرید.

تست 33 (سال 82)

فرض کنید X یک فضای متریک است. اگر بستار زیرمجموعه ای چون A را با نماد $\overline{A}$ نمایش دهیم، آنگاه برای خانواده ی دلخواه $\{A_i\,:i\,\in I\}$ از زیر مجموعه های X، کدام گزاره همواره درست است؟

1) $\overline{\bigcap_{i\in I}A_i}\subseteq \bigcap_{i\in I}\overline{A_i}$

2) $\overline{\bigcup_{i\in I}A_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{A_i}$

3) $\overline{\bigcap_{i\in I}A_i}=\bigcap_{i\in I}\overline{A_i}$

4) $\overline{\bigcup_{i\in I}A_i}\subseteq \bigcup_{i\in I}\overline{A_i}$

حل تست:

گزینه ی 1.

دقت کنید که عبارت سمت راست گزینه ی 1، مجموعه ای بسته است و $\bigcap_{i\in I}A_i\subseteq \bigcap_{i\in I}\overline{A_i}$ و $\bigcap_{i\in I}A_i\subseteq \overline{\bigcap_{i\in I}A_i}$ ، از طرف دیگر $\overline{A}$ کوچک ترین زیرمجموعه ی بسته ی X شامل A است؛ از این دو مطلب، درستی گزینه ی 1 ثابت می شود.