در این صفحه ، اعداد کامل را آن چنان که در محافل ریاضی تعریف می شود ، معرفی می کنیم. در گفتار های نظریه اعداد، « عدد کامل » عددی تعریف می شود که با مجموع ِ مقسوم علیه های سره اش برابر باشد.
کوچترین عدد کامل 6 است زیرا 6=1+2+3 .
همچنین 6 تنها عددی است که مجموع و حاصلضرب ِ مقسوم علیه های سره اش است :
و همچنین 
و جالب است بدانید که 
.
عدد کامل بعدی 28 است و پس از ان عدد 496 است :
28=1+2+4+6+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
یونانیا ن باستان چهار عدد ِ کامل نخست را می شناختند. این اعداد 6 و 28 و 496 و 8128 هستند.
« اقلیدس » فرمولی برای یافتن اعداد کامل ارائه کرده است. اقلیدس می گوید : « اگر 
یک عدد اول باشد، آنگاه 
یک عدد کامل است . »
یعنی اگر مقداری از k را بیابیم که به ازای آن مقدار، عدد ، اول باشد ، آنگاه می توانیم یک عدد اول بسازیم.
دقت کنید که رابطه ی اقلیدس را نمی توانیم برای همه ی مقادیر طبیعی k ، داشته باشیم زیرا اگر k یک عدد مرکب مانند pq باشد ، آنگاه
بنابراین تنها وقتی می تواند یک عدد اول باشد که k اول باشد. اما هیچ ضمانتی وجود ندارد که اگر k اول باشد ، نیز اول باشد. به چند مقدار ِ k در جدول زیر توجه کنید :
| 13 | 11 | 7 | 5 | 3 | 2 | k |
| 8191 | 2047 | 127 | 31 | 7 | 3 | |
که 
عدد اول نیست در حالی که k = 11 اول است.
اگر روش اقلیدس را برای ساختن اعداد کامل به کار بریم به اعداد کامل جدول زیر می رسیم :
| مقدار k |
مقدار |
| 2 | 6 |
| 3 | 28 |
| 5 | 496 |
| 7 | 8128 |
| 13 | 33550336 |
| 17 | 8589869059 |
| 19 | 137438691328 |
اگربه جدول توجه کنیم گویی تمام اعداد ِ کامل یا به 6 ختم می شوند یا به 28. همچنین به نظر می رسد اعداد کامل « اعداد مثلثی » هستند که برابرند با مجموع تعدادی از اعداد طبیعی پشت سر هم که از 1 شروع می شوند. مثلا"
31+30+29+28+....+4+3+2+1=496
که در بخش های آینده به این گونه اعداد خواهیم پرداخت.
اگر یک گام جلو تر برویم باید بگوییم که هر عدد کامل بعد از 6 ، یک مجموع جزئی از سری زیر است :
مثلا ً 
و 
. شما باید تعدادی از این مجموع های جزئی متناظر با اعداد کامل را بیابید.
ما نمی دانیم که آیا عدد ِ کامل ِ فردی وجود دارد یا خیر!!! اما هنوز چنین عددی یافت نشده است. با استفاده از کامپیوتر ها به آسانی می توانیم اعداد کامل ِ بزرگتر را بیابیم .
نظرات شما عزیزان:
