تست 11 (سال 77)
مجموعه ی نقاط مرزی یک مجموعه ی E از یک فضای متریک، مجموعه ای است ...
1) باز
2) بسته
3) هم باز و هم بسته
4) نه باز و نه بسته
حل تست:
گزینه ی 2.
مرز زیر فضای E از X، مجموعه ی نقاطی از فضای X است که هر همسایگی از هر نقطه ی آن، اشتراکی ناتهی با E و متمم E داشته باشد. با کمی دقت می توان ثابت کرد که متمم مرز، باز و در نتیجه مرز، مجموعه ای بسته است. (البته راه دیگر، اثبات این مطلب است که مرز E، شامل نقاط حدی خود است.)
هر گاه X یک فضای متریک، فشره و
باز باشد، آنگاه ........... فشرده است.
1)
2)
3)
4)
حل تست:
گزینه ی 2.
می نوان نوشت: ؛ چون
بسته و زیر مجموعه ای از یک فضای فشرده است، بنابر خودش نیز یک فضای فشرده است.
تست 13 (سال 78)
هرگاه دنباله ی آشیانی از فواصل غیر تهی در
باشد، تحت کدام یک از شرایط زیر،
ناتهی است؟
1) ها بسته باشند.
2) ها بسته و کراندار باشند.
3) ها کراندار باشند.
4) ها همبند باشند.
حل تست:
گزینه ی 2.
شرط اصلی، فشرده بودن است؛ اما در فشردگی معادل بسته و کراندار است.
تست 14 (سال 78)
اگر A و B زیر مجموعه های باشند، به قسمی که A بسته و B فشرده باشد و
، در این صورت کدام گزینه صحیح نمی باشد؟
1) A+B بسته است.
2) مجموعه ی بازی مانند V شامل A وجود دارد، به قسمی که فشرده و
.
3) تابع پیوسته ای مانند وجود دارد به قسمی که
و
.
4) نقاطی مانند وجود دارند به قسمی که
حل تست:
گزینه ی 2.
اگر A بی کران باشد، نیز بی کران است و نمی تواند فشرده باشد.
تست 15 (سال 78)
اگر ، در این صورت بستار
(کوچکترین مجموعه ی بسته در
و شامل A) عبارت است از:
1)
2)
3)
4)
حل تست:
گزینه ی 3.
m را ثابت نگاه دارید و n را به بی نهایت میل دهید؛ هم چنین n و m را با هم به بی نهایت میل دهید. ثابت کنید A غیر از این ها نقطه ی حدی دیگری ندارد.
تست 16 (سال 79)
اگر با متر معمولی در نظر گرفته شود، مجموعه ی
مجموعه ای است ..........
1) فشرده و همبند
2) نه فشرده و نه همبند
3) فشرده و ناهمبند
4) همبند است ولی فشرده نیست.
حل تست:
گزینه ی 2.
شکل A داخل هذلولی همراه با مرزهای آن است، بنابر این بی کران است و در نتیجه فشرده نیست؛ هم چنین به وضوح همبند نیست.
در فضای متریک که
، مجموعه ی
(یعنی گوی باز به مرکز 2 و شعاع یک پنجم) برابر است با:
1)
2)
3)
4)
حل تست:
گزینه ی 4.
کافی است تعریف گوی باز را بنویسید.
تست 18 (سال 80)
اگر ، آنگاه
کدام است؟
1)
2)
3)
4)
حل تست:
گزینه ی 1.
A یک زیر فضای گسسته ی یک فضای متری اقلیدسی ناشماراست و لذا A شامل هیچ همسایگی از نقاط خود نیست.
تست 19 (سال 80)
قرار دهید به عنوان زیر مجموعه ای از زوجهای مرتب در
.
1) نقطه ی درونی A است.
2) مجموعه ی A باز است.
3) مجموعه ی A بسته است.
4) نقطه ی حدی این مجموعه است.
حل تست:
گزینه ی 4.
اگر یک بار m را ثابت نگاه دارید و n را به بی نهایت میل دهید و سپس m را به بی نهایت میل دهید، مشخص است که مبدأ نقطه ی حدی A است که عضو آن نیست. پس 3 درست نیست. از طرفی A شماراست و لذا 1 و 2 درست نیست.
ست 20 (سال 80)
کدام گزینه نادرست است؟
1) اجتماع هر دو مجموعه همبند با اشتراک ناتهی مجموعه ای است همبند.
2) اشتراک هر دو مجموعه ی همبند برای
، مجموعه ای است همبند.
3) تنها زیر مجموعه ی (ناتهی) همبند فضای اعداد گویا، تک عنصری است.
4) تنها زیر مجموعه های (ناتهی) همبند فضای متریک گسسته، تک عنصری هستند.
حل تست:
گزینه ی 1.
دو قرص بسته ی مماس بر هم را در نظر بگیرید. هریک از آنها همبند ولی اجتماع آن ها همبند نیست.
نکته: برای گزینه ی 4 به اینجا مراجعه کنید. (یك فضای گسسته همبند نیست مگر اینكه تك عضوی باشد. زیرا در غیر این صورت مجموعه همه ی تك عضویها تشكیل یك جداسازی برای این فضا می دهد(چون در فضای گسسته هر مجموعه ی تك عضوی هم باز است وهم بسته) و می دانیم كه هر فضایی كه دارای یك جداسازی باشد همبند نیست. پس هر فضای گسسته با بیش از یك عضو همبند نیست.)
تست 21 (سال 80)
در فضای متریک ، کدام عبارت، مرز مجموعه ی A نیست؟
1)
2)
3)
4)
حل تست:
گزینه ی 3.
با توجه به تعریف، مرز عبارت است از
؛ حال کافی است قرار دهید
و
.
تست 22 (سال 81)
فرض کنید و
؛ آنگاه
1) فشرده در Y است.
2) باز و بسته در Y است.
3) کامل در Y است.
4) چگال در Y است.
حل تست:
گزینه ی 2 و 3 !!
به وضوح هر نقطه ی ، نقطه ی داخلی (نسبت به متر Y) است و
شامل نقاط حدی خود است؛ همچنین
مساوی نقاط حدی خود (البته به عنوان زیر فضای Y) و لذا کامل است.
در Y فشرده نیست، زیرا در
فشرده نیست.
چگال در Y نیست، زیرا با بستار خود مساوی است.
تست 23 (سال 81)
کدام یک از نقاط، انباشتگی (تجمع یا حدی) مجموعه ی است؟
1)
2) 1
3)
4) 2
حل تست:
گزینه ی 2.
قرار دهید m=1 و n را به بی نهایت میل دهید. (نقاط انباشتگی A مجموعه ی است.)
کدام یک از توابع d در اعداد حقیقی، متر نیست؟
1)
2)
3)
4)
حل تست:
گزینه ی 3.
در گزینه ی 3 داریم: که مخالف تعریف متر است.
تست 25 (سال 81)
فرض کنید یک فضای متریک و
؛ کدام گزینه همواره درست است؟
1) اگر A همبند نامتناهی باشد، آنگاه کامل (Perfect) است.
2) اگر A کامل و کراندار باشد، آنگاه A فشرده است.
3) اگر A کامل باشد، آنگاه A ناشماراست.
3) اگر A کامل باشد، آنگاه همبند است.
حل تست:
گزینه ی 1.
برای اثبات گزینه ی 1، ثابت کنید که اگر کامل نباشد، عضوی از A مانند a که نقطه ی تنهای آن است وجود دارد به گونه ای که مجموعه ی
در A هم باز است و هم بسته که متناقض همبندی A است. برای رد سه گزینه ی دیگر، X را اعداد گویا و A را مجموعه ی همه ی اعداد گویا در بازه ی
فرض کنید.
